形象思维不过关，是理科学习的普遍瓶颈
形象思维能力，包含两部分内容：
- 意识层面：关注重视生动、具体、直观（形象化）的经验和感受
- 能力层面：善于捕捉、获取、创造生动直观具体（形象化）的经验和感受
一个普遍的迷思是，大多数人认为，中学数理化成绩不佳，是逻辑思维差，因此导致理解水平不够。
其实中学数理化，从高考的角度来看，对学生逻辑思考能力的要求并不高。
例如数学135水平，需要的逻辑能力，是大多数同学经过基本训练，没有特殊难度就足够的。
中学理科学不好，首先遇到的瓶颈不是逻辑思维，而是形象思维。
作为自然界的高等级兵种，人类这种生物进化出来了独特的功能：大脑。而基于大脑，我们又产生了特殊的能力：创造和理解各种抽象语言。例如文字、数学公式，都是从现实中抽象出来的语言。
抽象思维，是大脑的功能。
然而，要让抽象思维工作，我们往往还需要具体的体验、感受，而这就需要依靠生物的原始功能：视觉、触觉、味觉等。
在理解世界之前，我们先要感受世界。
理解能力跟抽象思维密切相关，而感受能力则跟形象思维密切相关。
数学常常是学渣的噩梦，其中一个原因就是数学本身是高度抽象的，我们看到各种公式符号，也许连基本的意思都没搞懂，更别说他们背后的意义，与现实的关联。
所以在大脑中，没有与这些抽象语言对应的基本体验，也就谈不上理解和掌控。甚至反过来，久而久之就产生恐惧感。
而形象思维水平高的人，会主动的寻求建立形象化。
本书前面谈到，上个世纪，有位全国特级教师马芯兰，她在小学数学教育方面卓有成效，经验总结为了「马芯兰教学法」。她的实践中，就包含强烈的形象思维。
举个例子，今天我们对111这个数字中，三个1所代表的不同含义，已经很清楚了。但是想想你作为一个几岁的小朋友，在最开始接触到数学进位制计数法是，会很容易搞清楚十位上的1还是个位上的1有什么区别吗？
为了帮助学生建立直观的概念，马芯兰设计了一些滚筒，把它们排成一行。最右边的代表个位，然后是十位、百位…
然后用小棍子代表1，放到个位筒里。当有10个棍子的时候，就把它们困成一扎，放到十位筒里。这样一来，就直观表示了十位筒的「1」和个位上的「1」的差别。让学生对于进位制有了直观的认识，从而在符号语言与具体感觉上，建立起了桥梁。
而其实只要对进位的理解突破，小学前三年级，基本上也就是一路平川了。
有个基本的数学思维叫数形结合，背后也蕴含着形象思维的理念。
所以「数形结合」，在学习数学中是一条基本的指导原则。它其实就是形象化思维，在数学学习科目中具体应用。
对于形象思维能力出色的人，他们遇到抽象概念，本能就会去建立直观经验、感觉联系。
但大多数人并没有这种形象思维的基本意识，所以他们会接受概念和感官脱节的状况，生硬的记忆套用，而不去寻求解决形象体验、直觉问题。
巧妇难为无米之炊，缺乏形象直观的经验、感觉作为基础，你的抽象思考引擎是开动不起来的。
再比如物理，很多时候同学其实卡在一个地方，就是难以把文字描述，转化一个头脑中可以理解的生动场景，例如物体运动的具体情境。
在中学学习中，我们也可以经常看到，一些日常生活中被认为是头脑聪明、思考敏捷的同学，也卡在数理科目上。
往往他们形象化这一步就没过去。
案例：高形象思维水平的对话
上次有位学习者，在使用知识森林学习软件。问我一个问题：
软件里有两个概念：项目和卡片空间。我觉得不太理解，你能举一个现实中的比喻，类比它们之间的关系吗？
我想了想说：
想象你去吃自助餐。卡片空间就像选餐的地方，啥菜都摆在那里，你可以挑。但菜太多了，不可能什么都吃，也够不着。
而项目就像是你的餐盘，你到选餐的地方把菜选出来，这样准备开吃。
他就说「这下我懂了」。
你看，他问这个问题，是主动的想要把这两个抽象概念形象化，因此要求我举一个现实生活中的比喻。
体现出意识层面的水平，关注重视形象化的经验和感受。
而我真能快速的给他想出一个比喻，这是我的形象化能力。也是基于长期具备形象化意识，持续去捕捉、获取和创造形象化经验感受的沉淀。
案例：知识体系的具像化
我们都知道，学习是要建立起强大的知识体系。
然而知识体系看不见摸不着，也就难以提升。
如果你的形象思维能力强，那自然就会引出一个思考：如何让知识体系看得见摸得着呢？变成一个具像化的事物？
这里最简单的手段，就是在纸上推导知识体系，画出来。
但因为纸张大小的限制，面对学科级别的知识体系网络（几百甚至上千知识点），那就完全无能为力了。
前面介绍的知识森林学习软件，从形象思维的角度，就是在用数字化手段，来实现知识体系的形象化。
而且这里面有好几个层面的形象化：
1）知识体系的形象化（最早我用长方形代表知识点、椭圆代表案例、联线代表关系，这样知识体系就看得见摸得着了）
2）知识体系建构动作的形象化（在软件中创建知识点、在知识点之间进行连线），这样不仅仅是静态的图像，而且过程动作也形象化了
3）脉络线的形象化（用粗线条表示关系脉络线，这样关系的重要程度也形象化了，就像公路网络中的主干线和次要线路）
4）掌握度的形象化（用不同的颜色表示不同掌握度，例如一种方案是，模拟交通中的红灯黄灯绿灯，来表示不同知识点的掌握度，绿色表示充分掌握、黄色表示存在问题、红色表示问题严重）
5）更进一步的，用战争、战略游戏的概念来生动化形象化学习（用城堡的图标表示知识点、塔楼的图标表示案例题目、高度掌握之后在城堡边显示红旗，这样知识地图，感觉就像是战争、战略游戏中的全局地图）
案例：有理数和无理数概念的形象化
形象化的另外一个重要手段，是去探索概念知识背后的故事、案例。
为什么产生这样的概念，有什么样的背景？它的用途是什么？
这样也是在把一个抽象概念，还原到它产生的环境中，从而使之具体化。
例如，初中数学上来就引出了有理数的概念，又来又引出无理数。
到底为什么要叫做有理数和无理数呢？有什么背景呢？
我以前研究挖掘这两个概念的背景，挖出了一桩谋杀案。
公元前500年左右，希腊发生了一起谋杀案。一个人因为解出了一道证明题，被扔到大海里，灭口了。
为什么做对题了，要被灭口呢？
这道题目证出来之后，引发了一个惊天的危机。以至于人们决定杀人灭口，以掩盖可能出现的更大的后果。
理解了这道证明题，以及它引发的惨案，你不仅仅是理解了有理数和无理数的来历，对理科学习的意义和打开方式，也就有了更深刻的认识。
算术不是算术
我们对数学的学习，是从算术开始的。
「算术」这个词，源于中国，我们古代就有「九章算术」一书。顾名思义，算术就是计算的技术，一种技能。这也是小学阶段，学生数学学习的重点。例如加减乘法的计算。
概括而言，在中文语境中，「算术」非常明显的指向技能。
在古希腊，柏拉图提出了「七艺」的概念，也就是教育的7门科目：算术、几何、天文、音乐，以及文法、修辞、辩证法。
问题来了，这里我们讲希腊的算术，对应着英文的arithmetic，它的核心其实并非计算的技术。
对这个词，英文词典的解释是「the branch of mathematics dealing with the properties and manipulation of numbers」，大意是，研究数的性质和操作的数学分支。用今天的数学学科分类而言，它更倾向于数论。
从这个角度，arithmetic更多的是一种智能，关注的是理解数的性质、数的操作。
然而最终，在翻译的时候，「arithmetic」成为了「算术」，失去了它原本的含义，给人造成了自然的误导。
这一误导在数学教育上的体现，就是学校、老师关注计算，却忽略了让学生充分理解、研究数的概念、性质、关系。这一问题在初中一年级，有个明显的表现，就是一大堆学生，都不理解到底什么是「有理数」，什么是「无理数」。
毕达哥拉斯学派
在古希腊，谈到对算术(arithmetic)的研究，就需要谈到毕达哥拉斯学派。
毕达哥拉斯诞生于靠近小亚细亚海岸的萨摩斯岛。在四处游学之后，他成立了一个兼具宗教、科学、哲学性质的帮派，也就是毕达哥拉斯学派。
这个学派有人员的限制，内部传授知识，并且对外保密。
毕达哥拉学派有一个基本信仰：万物皆数。他们相信数代表了真理，可以解释万物。
可能他们的信仰，更进一步。亚里斯多德说，毕达哥拉斯学派，把数看做真实物质世界的最终组成部分（类似于今天科学中的原子概念了）。
在那个时代，人们认识的数，是像1、2、3这种我们日常经验可以感知的数，也就是整数（严格的说正整数）。
所以毕达哥拉斯学派认为，任何事物，都可以表达为整数，或者整数的比。
对数的研究
基于他们的信仰，毕达哥拉斯学派，对数作了很多研究。
例如，他们经常把数描述成沙滩上的点或小石子，根据点的形状，对数进行分类。
对于1、3、6、10这样的数，他们称之为三角形数，因为这些数可以摆成正三角形：
对于1、4、9、16这样的数，他们称为正方形数。
当把点摆成图形，整数的一些性质就变得明显。例如，对正方形数画一道斜杠，就会发现，相继两个三角形数之和，是正方形数。
从上面的例子中可以看到，毕达哥拉斯学派，在研究整数的性质，基于整数的性质进行归类，研究整数之间的相互关系（三角形数、正方形数的关系）。
这些研究、分析、调查、判断活动，是典型的智力活动，而非单纯刷熟练度的计算。
另外这里也可以看到，在研究数的过程中，毕达哥拉斯学派，使用了数形结合的方式，这也是形象思维的体现。
很多同学每天拼命背概念刷题，但思维水平低下，例如缺乏形象化意识，也就很难有突破。
所以千万别只顾闷头干活，一定要提升自己的思维层次。
毕达哥拉斯定理
毕达哥拉斯学派，在几何方面也做了很多研究。其中最为著名的，是毕达哥拉斯定理。
中国古代有勾三股四弦五的发现，简单的说，就是对于直角三角形，如果直角边是3、4，那么斜边长度为5。
这一发现背后，有一个普遍的结论，就是对于直角三角形，两直角边长度的平方之和，等于斜边长度的平方。也就是a x a + b x b = c x c
这里要注意的是，猜想和证明是两回事。
例如我们如下的直角边与斜边组合：
- 3、4、5
- 5、12、13
3×3+4×4=5×5
5×5+12×12=13×13
我们猜想对于直角三角形，有axa+bxb=cxc
我们可以尝试再找例子进行验证，但这些都是有限的情况。如果保证对所有的直角三角形，这一关系都成立呢？这就需要证明。
这个定理有很多的证法，其中一个普遍的思路，是把代数等式证明，转化为面积相等问题。
例如下图所示，证明两个正方形面积之和等于第三个正方形。
其实这个可以从观察等式中看出，a*a的一个几何意义，是长度为a的正方形面积。
尽管在人类不同的文明中，都发现了勾股定律的现象。但是数学证明这种思维，却是古代希腊人独特的贡献。
克莱因说，「希腊人坚持要演绎证明，这也确是了不起的一步。在世界上的几百种文明里，有的的确也搞出了一种粗陋的算术和几何。但只有希腊人才想到要完全用演绎推理来证明结论」
数学证明引发的谋杀案
在证明了毕达哥拉斯定理之后，传说毕达哥拉斯学派欣喜若狂，杀了100头牛祭祀庆祝。
然而，好景不长。这个定理的证明，对于毕达哥拉斯学派而言，如同打开了潘多拉的魔盒。它释放出了一个幽灵，引发了一场恐慌，并且产生了大概是人类历史上，第一次因为解出了数学题，而导致被杀人灭口的谋杀事件。
这个幽灵是什么呢？
如果我们做一个直角边长为1的等腰直角三角形。
那么根据毕达哥拉斯定理，有1×1+1×1=cxc
化简之后可得cxc=2。
前面我们谈到，毕达哥拉斯学派信仰「万物皆数」。他们认为，任何事物，都可以表达为整数，或者整数的比。
首先，c不是一个整数（1之后的最小整数是2，而c大于1小于2）。
那么，按照毕达哥斯拉的理念，c应该可以表达为两个整数之比。
然而，在毕达哥拉斯学派中，有一个人叫做希帕苏斯。他证明，这个c不能表达为整数之比。
他是如何证明的呢？
反证法的应用
希帕苏斯使用了反证法。
他首先假设，c能够表达为两个整数之比，也就是假设c=p/q（这里p、q互质，否则还是可以化简得到一个互质的p、q形式）。
这样一来，(p/q)x(p/q)=2，化简之后得到pxp=2xqxp。
因为p和q互质，那么p、q最多只能有一个偶数（否则还可以继续化简）。
又因为pxp=2xqxq，也就是说pxp必然是偶数，那么p必然是偶数。
这样一来，q就必然是奇数。
既然q是奇数，等式的右边（2xqxq），一共就只有一个2的因子。
然而，在等式的左边，因为p是偶数，那么p至少有一个2的因子。pxp至少有两个2的因子。
这样一来，等式左边和右边不能相等。
因此，我们最开始的假设（c能够表达为两个整数之比）是错误的，c不能表达为两个整数之比。
这是一个非常漂亮的证明。希帕苏斯使用的，是一些基本的整数和运算性质，例如奇偶性、整数的因数。反证法的应用很精彩。
这里又要强调了，在这个证明中，计算非常简单，重点是在研究数的性质，进行逻辑推理，又是一个智能导向的活动。这是希腊「算术」的基本精神。
狂热的信仰
希帕苏斯的证明非常漂亮，无懈可击。
然而这个证明，直接跟毕达哥拉斯学派的基本理念相冲突。
毕达哥拉斯学派信仰「万物皆数」。他们认为，数字代表了真理，任何事物，都可以表达为整数，或者整数的比。
今天，居然有了既不是整数，也不能表达为整数的比的长度。那么，「万物皆数」就站不住脚了。
从数学史的角度，这件事情称为第一次数学危机。
如果单纯从科学研究的观点，站不住脚是好事，证明理论研究有了新方向、新突破。承认问题，继续研究就行了呗。
但是如果从宗教信仰的角度，那就不一样了，「神」不灵了，世界崩溃了。
那怎么办呢？不能解决问题，但是可以解决提出问题的人啊。
于是希帕苏斯被扔到海里喂鱼了。
可比数 vs 不可比数
尽管希帕苏斯成了倒霉蛋，但他所发现的事实，依然存在。
这就导致了新的概念的产生，希腊人现在意识到，不是所有事物，都可以表达为两个整数之比的。
于是，希腊人有了「可比」（也翻译为「可公度」，和「不可比」（不可公度）的概念。
在希腊文中，希腊人用「λογος」，表示「可比之数」。而这个翻译到英文，比例的词根是ratio，可比之数也就翻译成了rational number，不可比之数则翻译成了irrational number。
从直观容易理解的角度，其实有理数更浅显的翻译，应该是「比数」。而无理数，则是「不可比数」或者「非比数」。例如c*c=2，这个c就是不可比的数。
从另外一方面，rational和irrational，本来也就是「理性」和「非理性」的意思。
毕达哥拉斯学派，学习数学是为了追求理性（虽然矛盾的他们又有对数的强烈的带有宗教性质的迷信色彩），他们认为数就代表了理性、能解释万物运作，所有事物都可以表达为整数和整数之比。
理解了在他们心目中，数与理性的关系，那么对有理数和无理数的概念，也就容易掌握。
儿子生爸爸
有个笑话说，妈妈问儿子，是爸爸大还是儿子大。
儿子说：一样大。
妈妈问为什么啊。
儿子说，因为生了我，爸爸才当爸爸的。
看上去是笑话，但背后却有一个道理。固然从生物体的角度，是现有爸爸这个人，再有儿子。
但从概念的角度，「爸爸」这个概念，却要从属于「儿子」这个概念。没有「儿子
」，就没有「爸爸」。
如果脱离了「儿子」的概念，单纯讲「爸爸」，在现实生活中，我们一定觉得很荒谬。
但是在数学教课书里，这种逻辑上的脱节却是普遍的。用人教版初中数学教材为例，初一上引入「有理数」的概念，说「整数和分数统称有理数」。初一下又跳出无理数的概念。
然而从逻辑上，这两个概念是配套的。正因为发现了不可比的数，才需要一个「可比数」的概念来区分。否则就像希腊人之前那样，没有发现不可比的数，也就没必要叫「可比数」。本来数都是可比的，那还要这个概念干嘛。
教材把概念都搞得支离破碎，就难怪学生普遍缺乏对概念的理解了。
反过来，这也是为什么，你需要溯本求源，回到概念产生的原始现场。
形象化基本手段：研究故事和案例
围绕「有理数和无理数」的概念，前面分享了相关的背景故事。
对故事案例的研究，是学习抽象概念知识、使之形象化的基本手段。
一流的老师，往往不仅仅是讲课本知识，而且还能扯出各种背景故事，让你融入其中，从而让抽象理念，变得鲜活起来。
我高中的时候，特别喜欢数学老师上课，因为他能讲出各种各样的故事，比如费马当时就是个律师，但是业余喜欢研究数学。有一天他在一本书的空白处写上，我证明了balbalbal，但是这里写不下….于是后来一啪啦人都去尝试证明费马写下的命题……
他上课往往讲这种故事就天南海北了，也未必跟数学有关系。
我学生时代唯一喜欢的拖堂，就是这种因为扯故事太远而收不回来的状况。
记得有次我的同学说，老师上课尽扯一些没用的。
我说，这些才是真正有用的啊。课本上的东西，自己看就好了。
也许你没有遇到这样的老师，但是可以自己干啊。
最简单的，一个定义上网查一下，看看背后有什么来历。
平时也可以有意识的，去读学科历史方面的书籍。
举个例子，我最近枕头边的书《机械宇宙——艾克萨·牛顿、皇家学会与现代世界的诞生》。
对于缺乏对科学的基本历史认识的同学，推荐吴军老师的《文明之光》。其中涉及到对各个时期科学、技术的整体介绍和故事，可以作为入门启蒙。
实事求是：形象思维与抽象思维的协同
我们经常讲要「实事求是」。
这个成语分为两部分：
- 实事：重视现实的经验、事实，从实际出发
- 求是：寻求现实经验、事实背后的规律真相
「实事」，其实就是对现实经验事实的重视，做事情要深入一线，建立直接经验、感受现实。这是「形象思维」驱动。
而「求是」，则是寻求规律性，这是「抽象思维」驱动。
「实事」是基础，「求是」是升华。
所以「实事求是」听上去简单，要真正做到，对于形象思维和抽象思维都有要求。
这里有种情况，就是一个人可能逻辑思维能力强，但是形象思维弱，缺乏实事求是精神，活在自己的逻辑链条里。
例如美军《生活大爆炸》里面的谢尔顿，逻辑能力强，缺乏、忽视现实生活的一线经验。因此做事情容易从自身的经验和逻辑出发（而非从实际状况出发），看上去就不接地气。
这一点，是很多头脑聪明、逻辑能力不错的人的通病。
以中学理科的难度，你努力而成绩低迷，往往跟是不是聪明没大关系。大多数人都足够聪明到能学好中学理科。
反而有实事求是精神，更为重要。
有句话说：
专家 = 狭隘的经验 + 过度总结
我在知乎上写文章，通常评论区就能看到很多「专家」。
例如写如何通透学习，总有人在下面回复一句话诸如：
- 学数学就是要刷题
- 关键还是头脑要好
他们通常都没看我的内容，就已经有了结论，已经觉得自己有了丰富的经验，足以做出判断总结。
这种人，一线经验事实掌握的很少很片面，但是做出判断结论很快很迅速。
非常的自以为是。
从教科书中来，到教科书中去
要学习「实事求是」，推荐你读《毛泽东选集》。
例如毛选第一卷，有一篇《寻乌调查》。
寻乌是一个县城，毛泽东在这篇文章，把寻乌县有什么产业、这些产业的从业者都是来自哪里、相互有什么关系，都写的很清楚，这些都是仔细的调研的结果。
看了这片文章，我当时感想就是，别的不说，有这种踏实做事的作风，在大多数领域，都能成就一番事情了。
共产党讲「从群众中来，到群众中去」。到一个村庄，就要把每个人家都走访到，了解到不同人家的状况、相互关系。
这对于我们学习，类似于什么呢？
我们的中学学习，要做到「从教科书中来，到教科书中去」。教科书就像村庄，知识点就像农户。
到底有多少农户（知识点），一家一家拜访清楚。这就是「寻宝游戏」完成，你要把书上的知识点都能够识别出来，命名到位，这才是有初步的情况掌握。
然后这些农户（知识点）有什么关系，比如这一家是如何从那一家分出来的，这就是「连线游戏」的任务。
做到这两者，才谈的上争取各家各户，成为支持革命的力量（占领游戏）。
这样把工作做细致，领先大多数人，是自然的结果。
所以毛泽东在《反对本本主义》中说：
你对于那个问题不能解决吗？那末，你就去调查那个问题的现状和它的历史吧！
你完完全全调查明白了，你对那个问题就有解决的办法了。
一切结论产生于调查情况的末尾，而不是在它的先头。
只有蠢人，才是他一个人，或者邀集一堆人，不作调查，而只是冥思苦索地「想办法」，「打主意」。须知这是一定不能想出什么好办法，打出什么好主意的。换一句话说，他一定要产生错办法和错主意。
他又说：
调研是十月怀胎，解决问题是一朝分娩。
从我们学习3步曲的角度，摸清楚书上有哪些知识点、知识点是如何互相联系的，建立知识体系，是调研、是十月怀胎。有这个基础，解题（一朝分娩）就是很自然的事情。
然而大多数同学反过来了，怀都没怀上就想直接抱个大胖小子。看上去天天在刷题，就是简单粗暴想要搞定问题，连到底书上有哪些知识点都没调查清楚。
高考吧，至少到985这一级，完全谈不上拼什么智力。
你只要做到调研扎实，把知识体系真的建立起来，干好寻宝和连线工作，也就行了。
想象力比知识更重要
想象力，也需要以形象思维作为基础。
爱因斯坦说：
想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切，推动着社会进步，并且是知识进化的源泉。
爱因斯坦在十多岁的时候，思考一个问题：「如果我的速度跟光一样快，会发生什么？」
他想象自己「乘」在一束光上。
他开始了「思想实验」。
例如，想象火车上的场景。
如果一个人站在火车上，而他的朋友在地面，一束光线照射在火车的头尾，他的朋友会同时看到亮光。但是，那个在火车上的人却感觉火车前进的方向早出现光亮。
爱因斯坦相信，火车里或地面所见的不同说明时空是相对的、是可以变化的，这个实验也为建立狭义相对论打下基础。
爱因斯坦的很多成就，跟他的形象思维能力，关系密切。
这也是理科学习，甚至整个人生成长的基础思维要素。